| Átlagos nyereség |
|
A következőkben egy olyan helyzetet vizsgálunk meg, ahol nincsen se gammon- se backgammon-veszély és a tétkocka középen van (tehát bárki duplázhat). Már fogjuk is a kockát és kettesre fordítjuk. Most, hogy dupláztunk, ellenfelünknek két választása van. Vagy passzol és elveszíti a kocka adott értékét, azaz 1 pontot, vagy elfogadja a kockát és tovább játszik. Utóbbi esetben a kocka értéke megduplázódik, tehát ellenfelünk vagy 2 pontot veszít vagy ugyanennyit nyer. Íme az állás. Vajon jól döntöttünk, hogy dupláztunk? Vizsgáljuk meg, valóban helyes-e Feketének duplázni és vajon mikor dönt jól Piros: ha passzol vagy ha tovább játszik.  Fekete van soron. 36 lehetséges dobásából 27 megnyeri a partit, a maradék 9 azonban biztosan elveszíti, hiszen Pirosnak nincs vesztő dobása. Ez azt jelenti, hogy Feketének jelen állásnál 75% esélye van arra, hogy megnyerje a játékot (27 / 36 = 0,75). Amennyiben Fekete nem dupláz, úgy 75%-ban nyer egy pontot és 25%-ban veszít. Ez azt jelenti, hogy ha százszor végigjátszanák ezt az állást, akkor 75-ször nyerne egy pontot és 25-ször veszítene egyet, amit leírhatunk így 75 x 1 – 25 x 1 = 50
vagyis száz játék után Fekete +50 ponttal zárna. Ez egyetlen partira nézve fél pont nyereséget jelent (50 / 100 = 0,5). A fenti számítást ezentúl százalékos formában fogjuk felírni az alábbiak szerint: 0,75 x 1 - 0,25 x 1 = 0,5
és azt mondjuk, hogy Fekete átlagos nyeresége 0,5 pont partinként. A backgammon zéró összegű játék, vagyis amennyit Fekete nyer, annyit veszít Piros. Ezek szerint Piros átlagos nyeresége –0,5 pont, vagy másképpen: fél pont az átlagos vesztesége. Most nézzük meg, miként változik a helyzet, ha Fekete dupláz (és Piros elfogadja). Az előző képletet felhasználva leírhatjuk, hogy
0,75 x 2 – 0,25 x 2 = 1, vagyis Fekete 75%-ban nyer, 25%-ban pedig veszít 2 pontot. Józan ésszel is belátható, hogy ha a tétek duplázva vannak, akkor az egy partira eső nyereség is duplázódik. Feketének tehát dupláznia kell. A kérdés már csak az, elfogadja-e Piros a kockát. Ha Piros passzolna, az azt jelentené, hogy száz partiból mind a százat elveszíti 1,00 x 1 = 1
vagyis minden partin veszít egy pontot. Ez Feketének 1 pont átlagos nyereséget jelentene, ami –vegyük észre– éppen annyi, mint ami akkor adódik, amikor Piros elfogadja a duplát. Ebben az esetben tehát teljesen lényegtelen, mit választ Piros. Passzolhat is és el is fogadhatja a duplát – egyik választásával sem követ el hibát, átlagos vesztesége mindkét esetben azonos. Hibázni itt csak Fekete tud, mégpedig úgy, hogy nem dupláz. ♦ ♦ ♦ Most növeljük meg Fekete győzelmi esélyeit 80%-ra. Feketének természetesen dupláznia kell, mivel 0,80 x 1 – 0,20 x 1 = 0,60
és
0,80 x 2 – 0,20 x 2 = 1,20
vagyis 0,6 pontot nyer partinként szimpla és 1,2-t dupla téttel. Pirosnak azonban már nem szabad elfogadni a kockát, hiszen ebben az esetben átlagos vesztesége 1,2 pontra nőne partinként, amikor passzolással megúszhatja 1 elvesztett ponttal. Itt már Piros is tud hibázni: ha elfogadja a kockát, akkor 0,2 ponttal többet veszít partinként, mintha passzolna. A duplázókocka segítségével tehát Fekete 80%-os győzelmi esélyét 100%-ra tudja váltani (esetleg 120%-ra, ha Piros hibázik és elfogadja a kockát). Most nézzük meg azt a lehetőséget, amikor Feketének csak 70% esélye van nyerni. Százalékokkal felírva: 0,70 x 1 – 0,30 x 1 = 0,40 0,70 x 2 – 0,30 x 2 = 0,80
azaz Fekete átlagos jövedelme 0,4 pont partinként, ha nem dupláz; 0,8 akkor, ha dupláz és ellenfele elfogadja a duplát (és persze 1 pont akkor, ha passzol Piros). Ebben az esetben teljesen nyilvánvaló, hogy Piros elfogadja a duplát, hiszen így 0,2 ponttal kevesebbet veszít partinként ahhoz képest, mintha feladná a játékot. ♦ ♦ ♦ Azt látjuk tehát, hogy Feketének mindig megéri dupláznia, amikor nyerési esélye 50% fölött van, hiszen azzal átlagos nyereségét növeli, Pirosnak pedig mindaddig megéri elfogadnia a kockát, amíg nyerési esélye nem csökken 25% alá. A fenti szabály a valóságban csak ritkán igaz, a kövekezőkben fény derül arra is, hogy miért. A legfontosabb tanulság most az, hogy egy duplázási döntés helyessége mindig a két lehetséges választás (duplázni/nem duplázni, elfogadni/passzolni) várható átlagos jövedelmének különbségén alapul. A duplázási döntés helyes, ha a magasabb átlagos jövedelemet hozó lehetőséget választjuk. |
